# B、微分

考试内容：

- 微分的概念
- 微分的四则运算
- 一阶微分形式的不变性
- 弧微分
- 曲率的概念
- 曲率圆与曲率半径

考试要求：

- 理解微分的概念，理解导数与微分的关系．
- 了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分．
- 了解曲率、曲率圆和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径．

设函数 $y=f(x)$ 在某区间内有定义，$x_0$ 及 $x_0+\Delta x$ 在这区间内

如果函数的增量 $\Delta y = f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$ 可以表示为 $\Delta y= A\Delta x +o(\Delta x)$，
其中：$A$ 是不依赖于 $\Delta x$ 的常数，
那么，称函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 是可微的，
而 $A\Delta x$ 叫做函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 相应于自变量增量 $\Delta x$ 的微分，记作 $\mathrm{d}y$，即 $\mathrm{d}y=A\Delta x$

函数的微分记作：$\mathrm{d}y=f'(x)\mathrm{d}x$，即可得到 $\Large\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f'(x)$

微分公式可以参考导数公式，因为 $\mathrm{d}[f(x)]=f'(x)\mathrm{d}x$

# 可微与可导的关系

若在点 $x_0$ 处，函数可微必可导，可导必可微

# 微分形式的不变性

可以用来求复合函数的微分，例如 $y=\sin(2x+1)$：

$\mathrm{d}y=\mathrm{d}[\sin(2x+1)]=\cos(2x+1)\mathrm{d}(2x+1)=2\cos(2x+1)\mathrm{d}x$

# 弧微分

弧微分公式：

$\Large\mathrm{d}s=\sqrt{1+(y')^2}\mathrm{d}x$

# 曲率公式

$\LARGE K=\frac{\mid y'' \mid}{[1+(y')^2]^{3/2}}$

# 曲率半径公式

$\Large\rho=\frac{1}{K}$