数学二(302)考研复习笔记

A、导数

考试内容：

- 导数的概念
- 导数的几何意义和物理意义
- 函数的可导性与连续性之间的关系
- 平面曲线的切线和法线
- 导数的四则运算
- 基本初等函数的导数
- 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法
- 高阶导数
- 函数图形的描绘
- 函数的最大值与最小值

考试要求：

- 理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系．
- 掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式．
- 了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数．
- 会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数．
- 理解并会用罗尔（Rolle）定理、拉格朗日（Lagrange）中值定理和泰勒（Taylor）定理，了解并会用柯西(Cauchy）中值定理．
- 掌握用洛必达法则求未定式极限的方法．
- 理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数的最大值和最小值的求法及其应用．
- 会用导数判断函数图形的凹凸性

1、导数与导函数

设函数 y=f(x)y=f(x) 在点 x0x_0 的某个领域内有定义，当自变量 xx 在 x0x_0 处取得增量 Δx\Delta x（在点 x0+Δxx_0+\Delta x 仍在该领域内）时，相应的函数取得增量 Δy=f(x0+Δx)−f(x0)\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)；如果 Δy\Delta y 与 Δx\Delta x 之比当 Δx→0\Delta x \to 0 的极限存在，则称函数 y=f(x)y=f(x) 在点 x0x_0 处可导，并称这个极限为函数 y=f(x)y=f(x) 在点 x0x_0 处的导数，记为 f′(x)f'(x)，即：
f′(x)\Large f'(x)

  • =lim⁡Δx→0ΔyΔx\Large=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}

  • =lim⁡Δx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δx\Large=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}

  • =lim⁡h→0f(x0+h)−f(x0)h\Large=\lim\limits_{h \to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}

  • =lim⁡x→x0f(x)−f(x0)x−x0\Large=\lim\limits_{x \to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}

f′(x0)f'(x_0) 的其他表达形式：

  • y′∣x=x0\Large y'\mid_{x=x_0}

  • dydx∣x=x0\Large \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\Bigg |_{x=x_0}

  • df(x)dx∣x=x0\Large \frac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x}\Bigg|_{x=x_0}

  • 左导数：f−′(x0)=lim⁡h→0−f(x0+h)−f(x0)h\Large f_-^{'}(x_0)=\lim\limits_{h \to 0^-}\LARGE \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}

  • 右导数：f+′(x0)=lim⁡h→0+f(x0+h)−f(x0)h\Large f_+^{'}(x_0)=\lim\limits_{h \to 0^+}\LARGE \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}

f(x)f(x) 在 x0x_0 处可导 ⟺\Longleftrightarrow 左右导数存在，且相等

  • 导数的意义
  • 它可以表达曲线的切线的斜率
  • 它也表达的是某些物理量的瞬时值
  • 导数其实所表达的就是是函数在某点的的变化率

2、可导与连续性的关系

f(x)f(x) 在 x0x_0 处可导 ⟹\Longrightarrow f(x)f(x) 在 x0x_0 处连续

可导必连续，连续不一定可导

3、函数的求导

若两个函数都在 xx 处可导，则它们的和差积商都在 xx 处可导

  • [f±g]′=f′±g′\Large [f \pm g]'=f' \pm g'

  • [f⋅g]′=f′⋅g+f⋅g′\Large [f \centerdot g]'=f' \centerdot g+f \centerdot g'

  • [fg]′=f′⋅g−f⋅g′g2(g≠0)\Large [\frac{f}{g}]'=\frac{f' \centerdot g-f \centerdot g'}{g^2}(g \ne 0)

反函数求导

若函数 x=f(y)x=f(y) 在区间 IyI_y 内单调、可导且 f′(y)≠0f'(y) \ne 0，则它的反函数 y=f−1(x)y=f^{-1}(x) 在区间 Ix={x∣x=f(y),y∈Iy}I_x=\{x\mid x=f(y),y\in I_y\} 内也可导，且：

[f−1(x)]′=1f′(y)\Large [f^{-1}(x)]'=\frac{1}{f'(y)}

也就是说 f′⋅(f−1)′=1\Large f' \centerdot (f^{-1})' = 1

复合函数求导

如果 u=g(x)u=g(x) 在点 xx 可导，而 y=f(u)y=f(u) 在点 u=g(x)u=g(x) 可导，则复合函数 y=f[g(x)]y=f[g(x)] 在点 xx 可导：

dydx=dydu⋅dudx或者y′(x)=f′(u)⋅g′(x)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u}\centerdot\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}\text{\;\;\;或者\;\;\;}y'(x)=f'(u)\centerdot g'(x)

高阶导数

若两个函数都在 xx 处有 nn 阶导，则它们的和差积商都在 xx 处 nn 阶导

  • (f±g)(n)=f(n)±g(n)\Large (f\pm g)^{(n)}=f^{(n)}\pm g^{(n)}

  • (f⋅g)(n)=∑k=0nCnkf(n−k)g(k)(f\centerdot g)^{(n)}=\Large\sum_{k=0}^n C_n^k \;\normalsize f^{(n-k)}g^{(k)}

隐函数求导

有些隐函数不太好显化，所以直接求导

例 ey+xy−e=0e^y+xy-e=0：

  1. 两边同时求导：

    • ddx(ey+xy−e)=d(0)dx\Large\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(e^y+xy-e)=\Large\frac{\mathrm{d}(0)}{\mathrm{d}x}

    • eydydx+y+xdydx=0\Large e^y\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+y+x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=0

  2. 解出 dydx\Large\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}：

    • dydx=−yx+ey,(x+ey≠0)\Large\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=-\frac{y}{x+e^y},\;(x+e^y\neq0)

例 y5+2y−x−3x7=0y^5+2y-x-3x^7=0：

  1. 两边同时求导得：

    • 5y4dydx+2dydx−1−21x6=0\Large5y^4\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+2\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}-1-21x^6=0

  2. 解出 dydx\Large\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}：

    • dydx=1+21x65y4+2\Large\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{1+21x^6}{5y^4+2}

对数求导，例 y=xsin⁡x,(x>0)\Large y=x^{\sin x},\;(x>0)

  1. 两边取对数：

    • ln⁡y=sin⁡xln⁡x\ln y=\sin x\ln x

  2. 两边同时求导：

    • 1yy′=cos⁡xln⁡x+sin⁡xx\Large\frac{1}{y}y'=\cos x \ln x+\frac{\sin x}{x}

  3. 解出 y′y'：

    • y′=y(cos⁡xln⁡x+sin⁡xx)=xsin⁡x(cos⁡xln⁡x+sin⁡xx)\Large y'=y(\cos x \ln x+\frac{\sin x}{x})=x^{\sin x}(\cos x \ln x+\frac{\sin x}{x})

参数方程求导

若参数方程：

{x=φ(t)y=ψ(t)\begin{cases} x=\varphi(t)\\ y=\psi(t) \end{cases}

确定 xx 与 yy 之间的关系，那么：

y′=dydx=ψ′(t)φ′(t)\Large y'=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)}

常见求导公式

4、导数的应用

罗尔中值定理求极限

费马引理

设函数 f(x)f(x) 在点 x0x_0 的某邻域 U(x0)U(x_0) 内有定义，并且在 x0x_0 处可导，如果对任意的 x∈U(x0)x\in U(x_0)，有 f(x)⩽f(x0)f(x)\leqslant f(x_0) 或 f(x)⩾f(x0)f(x) \geqslant f(x_0)，那么 f′(x0)=0f'(x_0)=0

导数等于零的称为函数的驻点或稳定点、临界点

罗尔定理

如果函数 f(x)f(x) 满足：

  • 在 [a,b][a,\;b] 上连续
  • 在 (a,b)(a,\;b) 内可导
  • f(a)=f(b)f(a)=f(b)

那么在 (a,b)(a,\;b) 内至少有一点 ξ\xi（a<ξ<b\xi<b），使得 f(ξ)=0f(\xi)=0

拉格朗日中值定理求极限

如果函数 f(x)f(x) 满足：

  • 在 [a,b][a,\;b] 上连续
  • 在 (a,b)(a,\;b) 内可导
  • f(a)=f(b)f(a)=f(b)

那么在 (a,b)(a,\;b) 内至少有一点 ξ\xi（a<ξ<b\xi<b），使得 f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a)f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)

如果函数在某区间上的导数恒为零，那么函数在这个区间上是一个常数。

泰勒中值定理求极限

泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广

如果函数 f(x)f(x) 在含有 x0x_0 的某个开区间 (a,b)(a,\;b) 内具有直到 (n+1)(n+1) 阶的导数，则对任意 x∈(a,b)x\in(a,\;b)，有： f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+f′′(x0)2!(x−x0)2+...+f(n)(x0)n!(x−x0)n+Rn(x)\Large f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+...+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x)

其中 Rn(x)=f(n+1)(ξ)(n+1)!(x−x0)n+1\LARGE R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}，ξ\xi 介于 xx 和 x0x_0 之间

柯西中值定理求极限

如果函数 f(x)f(x)，F(x)F(x) 满足：

  • 在 [a,b][a,\;b] 上连续
  • 在 (a,b)(a,\;b) 内可导
  • 对任意 x∈(a,b)x\in(a,\;b)，F′(x)≠0F'(x) \neq 0

那么在 (a,b)(a,\;b) 内至少有一点 ξ\xi（a<ξ<b\xi<b），使得 f(b)−f(a)F(b)−F(a)=f′(ξ)F′(ξ)\LARGE\frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}=\frac{f'(\xi)}{F'(\xi)}

洛必达法则求极限

设：

  • 当 x→ax\to a 时，函数 f(x)f(x) 及 F(x)F(x) 都趋于零
  • 在点 aa 的去心邻域内，f′(x)f'(x) 及 F′(x)F'(x) 都存在，且 F′(x)≠0F'(x)\neq0
  • lim⁡x→af′(x)F′(x)\LARGE\lim\limits_{x \to a}\frac{f'(x)}{F'(x)} 存在或无穷大

那么，lim⁡x→af(x)F(x)=lim⁡x→af′(x)F′(x)\LARGE\lim\limits_{x \to a}\frac{f(x)}{F(x)} =\LARGE\lim\limits_{x \to a}\frac{f'(x)}{F'(x)}

设：

  • 当 x→∞x \to \infty 时，函数 f(x)f(x) 及 F(x)F(x) 都趋于零
  • 当 ∣x∣>N\mid x \mid > N 时， f′(x)f'(x) 与 F′(x)F'(x) 都存在，且 F′(x)≠0F'(x)\neq 0
  • lim⁡x→∞f′(x)F′(x)\LARGE\lim\limits_{x \to \infty}\frac{f'(x)}{F'(x)} 存在或无穷大

那么，lim⁡x→∞f(x)F(x)=lim⁡x→∞f′(x)F′(x)\LARGE\lim\limits_{x \to \infty}\frac{f(x)}{F(x)} =\LARGE\lim\limits_{x \to \infty}\frac{f'(x)}{F'(x)}

判断单调性

若函数在 [a,b][a,b] 上连续，在 (a,b)(a,b) 上可导：

  • 若 (a,b)(a,b) 内 f′(x)>0f'(x) > 0，则 [a,b][a,b] 内单增

  • 若 (a,b)(a,b) 内 f′(x)<0f'(x) < 0，则 [a,b][a,b] 内单减

判断凹凸性和拐点

若函数在某区间内连续：

  • f(x1+x22)<f(x1)+f(x2)2⟹\LARGE f(\frac{x_1+x_2}{2})<\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2} \Longrightarrow 区间内凹

  • f(x1+x22)>f(x1)+f(x2)2⟹\LARGE f(\frac{x_1+x_2}{2})>\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2} \Longrightarrow 区间内凸

因此，若函数在 [a,b][a,b] 连续，在 (a,b)(a,b) 内一阶导二阶导：

  • 则在 (a,b)(a,b) 内 f′′(x)>0⟹[a,b]f''(x) > 0 \Longrightarrow [a,b] 内凹

  • 则在 (a,b)(a,b) 内 f′′(x)<0⟹[a,b]f''(x) < 0 \Longrightarrow [a,b] 内凸

拐点：曲线的凹凸性改变的地方

求区间内的拐点：

  1. 求区间上的 f′′(x)f''(x)
  2. 令 f′′(x)=0f''(x)=0，解出在区间内的实根，并求出在区间内 f′′(x)f''(x) 不存在的点
  3. 一一对求出的根和不存在的点进行检查，看 f′′(x)f''(x) 在该点左右两侧的符号
  4. 若符号相反，则是拐点，若相同，则不是拐点

求极值、最值

若函数在 x0x_0 处可导，且在 x0x_0 取得极值 ⟹f′(x0)=0\Large\Longrightarrow f'(x_0) = 0

极值点必定是驻点，但驻点不一定是极值点

方法一：

若函数在 x0x_0 处连续，且在 x0x_0 的某去心邻域内可导：

  • 在左半邻域内 f′(x)>0f'(x) > 0，右半邻域内 f′(x)<0f'(x)<0，则函数在 x0x_0 处取得极大值
  • 在左半邻域内 f′(x)<0f'(x) < 0，右半邻域内 f′(x)>0f'(x)>0，则函数在 x0x_0 处取得极小值
  • 在整个邻域内符号保持不变，则在 x0x_0 处无极值

方法二：

若函数在 x0x_0 处二阶导，且 f′(x0)=0,f′′(x0)≠0f'(x_0)=0,\;f''(x_0)\neq0，那么：

  • f′′(x0)<0⟹f''(x_0) < 0 \Longrightarrow 函数在 x0x_0 处取得极大值
  • f′′(x0)>0⟹f''(x_0) > 0 \Longrightarrow 函数在 x0x_0 处取得极小值

曲线的切线、法线

曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 M(x0,y0)M(x_0, \;y_0) 处的：

  • 切线方程：y−y0=f′(x0)(x−x0)y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)

  • 法线方程：y−y0=−1f′(x0)(x−x0)y-y_0=-\Large\frac{1}{f'(x_0)}(x-x_0)

5、网上找的

求导

上一次编辑: 11/9/2018, 8:41:55 PM

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