# C、函数的连续性、间断点

考试内容：

• 函数连续的概念
• 函数间断点的类型
• 初等函数的连续性
• 闭区间上连续函数的性质

考试要求：

• 理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型．
• 了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质．

# 1、函数的连续性

设函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 的某一邻域内有定义，

如果 $\lim\limits_{\Delta x \to 0}\Delta y = \lim\limits_{\Delta x \to 0}[f(x_0+\Delta x) - f(x_0)] = 0$，即 $\lim\limits_{x \to x_0}f(x)=f(x_0)$

则称函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处连续

通俗的讲就是该点的函数值等于该点的极限值

函数连续 $\Longleftrightarrow$ 左、右都连续，如果在某区间内每一点都连续，则函数在该区间上连续
讨论闭区间 $[a,\;b]$ 上的连续时，要看 $\lim f(a^+)$ 和 $\lim f(b^-)$

# 性质

• 若两个函数在 $x_0$ 处都连续，则它们的和差积商同样在 $x_0$ 处连续

• 原函数连续，则反函数也连续（注意它们两个的区间要对应）

• 基本初等函数在其定义域内都是连续的

• 一切初等函数在其定义区间内都是连续的

# 有界性与最值定理

对于在区间 $I$ 上有定义的函数 $f(x)$，如果有 $x_0 \in I$，使得任意 $x \in I$ 都有：

• $f(x_0)$为最小值：$f(x) \geqslant f(x_0)$
• $f(x_0)$为最大值：$f(x) \leqslant f(x_0)$

若函数在某个闭区间上连续，则它在该区间上有界，且一定能取得它的两个最值

# 零点定理

设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，且 $f(a)$ 与 $f(b)$ 异号（即 $f(a) \centerdot f(b) < 0$），则在开区间 $(a, b)$ 内至少有一点 $\xi$ 使 $f(\xi) = 0$

# 介值定理

设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，且在这闭区间的端点取不同的值 $f(a) = A$ 和 $f(b) = B$，则对于 $A$ 与 $B$ 之间的任意一个数 $C$，在开区间 $(a, b)$ 内至少有一点 $\xi$ 使得 $f(\xi) = C (a < \xi < b)$

推论：

在闭区间 $[a, b]$ 上连续的函数 $f(x)$ 的值域在闭区间 $[m, M]$，其中 $m$ 与 $M$ 依次为 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的最小值与最大值。

# 一致连续性定理

设函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上有定义，如果对于任意给定的正数 $\epsilon$，总存在正数 $\delta$，使得对于区间 $I$ 上的任意两点 $x_1, x_2$，当 $|x_1-x_2|<\delta$ 时，有 $|f(x_1)-f(x_2)|<\epsilon$，那么就称 $f(x)$ 在区间 $I$ 上一致连续。

如果函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，那么它在该区间上一致连续。

# 判断连续性

• 性质、定理
• 与导数的关系：可导必连续（连续不一定可导）

# 2、函数的间断点（不连续性）

设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某去心邻域内有定义，在此前提下，如果函数 $f(x)$ 有下列三种情形之一：

• 在 $x=x_0$ 没有定义

• 虽在 $x=x_0$ 有定义，但 $\lim\limits_{x \to x_0}f(x)$ 不存在

• 虽在 $x=x_0$ 有定义，且 $\lim\limits_{x \to x_0}f(x)$ 存在，但 $\lim\limits_{x \to x_0}f(x) \neq f(x_0)$

则函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处不连续，点 $x_0$ 称为不连续点或间断点

• 无穷间断点：$\lim\limits_{x \to x_0}f(x) = \infty$

• 振荡间断点：$\lim\limits_{x \to x_0}f(x)$，在 $x \to x_0$ 时，函数值不停的变动

• 可去间断点：$\lim\limits_{x \to x_0}f(x)$，虽在 $x_0$ 处无定义，但若补充一个定义，可以使得其连续

• 跳跃间断点：$\lim\limits_{x \to x_0}f(x)$，函数的图像在 $x_0$ 处产生跳跃现象

• 第一类间断点：$x_0$ 是函数的间断点，但在该处函数的左、右极限都存在

例如：

• 可去间断点，左右极限相等
• 跳跃间断点，左右极限不相等

• 第二类间断点：不是第一类的间断点

例如：

• 无穷间断点
• 振荡间断点