# A、函数

考试内容：

- 函数的概念及表示法
- 函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性
- 复合函数、反函数、分段函数和隐函数
- 基本初等函数的性质及其图形
- 初等函数
- 函数关系的建立

考试要求：

- 理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立应用问题的函数关系．
- 了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性．
- 理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念．
- 掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念．

函数是一种映射，从定义域 $D_f$（$\subset R$） 到值域 $R$（实数集）的映射

两个函数相同 $\Longleftrightarrow$ 它们的定义域、对应法则都相同

# 1、有界性

总能找到某个正数 $K$，使得 $-K \leqslant f(x) \leqslant K$

即函数值始终不会超过某个区间

有界性实际上表达的是函数值的范围，在图形上表现为函数曲线能被两条直线夹在中间

换种说法：总能找到两个数 $K_1 < K_2$，使得 $K_1 \leqslant f(x) \leqslant K_2$

# 有上界

总能找到某个数 $K_1$，使得 $f(x) \leqslant K_1$

即函数值始终小于 $K_1$

# 有下界

总能找到某个数 $K_2$，使得 $K_2 \leqslant f(x)$

即函数值始终大于 $K_2$

# 如何判断有界性？

• 函数有界 $\Longleftrightarrow$ 既有上界，也有下界
• 连续函数的最值定理：若函数在某个闭区间上连续，则它在该区间上有界，且一定能取得它的两个最值

讨论有界性时，如果未指明区间，那么一般默认是在定义域上讨论

# 2、单调性

• 单调增加：如果任意 $x_1 < x_2$，有 $f(x_1) < f(x_2)$
• 单调减少：如果任意 $x_1 < x_2$，有 $f(x_1) > f(x_2)$

单调性实际上表达的是函数值的变化趋势，单增说明函数值一直在变大，单减说明函数值一直在减小

讨论单调性时要明确讨论区间

# 如何判断单调性？

• 利用定义判断
• 利用一阶导数判断

# 3、奇偶性

函数的定义域必须关于原点对称，否则讨论个锤子

• 奇函数：$f(x) = -f(-x)$，明显函数图像关于原点对称
• 偶函数：$f(x) = f(-x)$，明显函数图像关于 $y$ 轴对称

# 如何判断奇偶性？

利用定义判断

# 4、周期性

若存在正数 $T$，使得任意的 $f(x) = f(x+T)$，那么 $T$ 就是函数的一个周期

一般说的周期，指的是最小正周期，但是有的周期函数没有最小正周期

# 5、反函数、复合函数

反函数是逆映射的特例，
它和原函数的单调性相同，
它与原函数的图像关于直线 $y=x$ 对称

函数复合时，要注意顺序，$f[g(x)]$ 有意义，不代表 $g[f(x)]$ 有意义

# 6、五类基本初等函数

# 幂函数

$y = x^\mu, \mu \in \Bbb{R}$ 是常数

# 指数函数

$y = a^x, a > 0$ 且 $a \ne 1$

# 对数函数

$y = \log_a{x}, a > 0$ 且 $a \ne 1$

# 三角函数

• $y = \sin x$
• $y = \cos x$
• $y = \tan x$
• $y = \cot x$

# 反三角函数

• $y = \arcsin x$
• $y = \arccos x$
• $y = \arctan x$

# 双曲函数（初等）

• 双曲正弦，$\Large\sh x = \frac{\Large e^x-e^{-x}}{\Large 2}$，定义域为$(-\infty, +\infty)$，奇函数，在定义域内单调递增

• 双曲余弦，$\Large\ch x = \frac{\Large e^x+e^{-x}}{\Large 2}$，定义域为$(-\infty, +\infty)$，偶函数，在$(-\infty, 0)$内单调递减，在$(0,+\infty)$内单调递增

• 双曲正切，$\Large\th x = \Large\frac{\sh x}{\ch x} = \frac{\Large e^x-e^{-x}}{\Large e^x+e^{-x}}$，定义域为$(-\infty, +\infty)$，奇函数，在定义域内单调递增

# 反双曲函数（初等）

• 反双曲正弦，$arsh\;x = \ln(x+\sqrt{x^2+1})$，定义域为$(-\infty, +\infty)$，奇函数，在定义域内单调递增

• 反双曲余弦，$arch\;x = \ln(x+\sqrt{x^2-1})$，定义域为$[1, +\infty)$，在定义域内单调递增

• 反双曲正切，$arth\;x = \Large \frac{1}{2}\ln{\frac{1+x}{1-x}}$，定义域为$(-1, +1)$，奇函数，在定义域内单调递增