# 概念及定义

# 1、含有n个未知量的线性方程组

形如 $a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3+a_4x_4+...+a_nx_n=b$ 的方程称为含有n个未知量的线性方程组。

# 2、$m\times n$的线性方程组

含有m个方程，n个未知量的线性方程组称为$m\times n$的线性方程组。

# 3、$m\times n$方程组的解

若有序元组 $(x_1,x_2,...,x_n)$ 满足方程组中所有的方程，则称其为$m\times n$方程组的解。

# 4、不相容线性方程组

若方程组无解，则称该方程组是不相容的。

# 5、相容线性方程组

若方程组至少存在一个解，则称该方程组是相容的。
若方程组相容，要么有且只有一个解，要么有无穷多个解。

# 6、线性方程组的解集

线性方程组的所有解的集合称为方程组的解集。

# 7、等价方程组

若两个含有相同变量的方程组具有相同的解集，则称它们是等价的。

# 8、方程组的等价运算

• 交换任意两个方程组的顺序
• 任意方程组两边同乘一个非零实数
• 任意方程组的倍数加到零一方程上

# 9、$n\times n$方程组

若$n\times n$方程组仅有一个解，则可以利用方程组的等价运算得到一个严格三角形方程组。
当方程组没有唯一解时，不可能化为严格三角形。

# 9.1、严格三角形方程组

若方程组中，第 $k$ 个方程的前 $k-1$个变量的系数均为零，且$x_k(k=1,2,...,n)$的系数不为零，则称该方程组为严格三角形的。
一般情况下，若方程组能化为严格三角形，则有唯一解。

# 10、矩阵

矩阵就是一个矩形的数字阵列。

# 10.1、系数矩阵

由方程组的系数组成的矩阵。

$\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn} \end{bmatrix}$

m行n列的矩阵称为 $m\times n$矩阵，若 m=n，则称为方阵。

# 10.2、增广矩阵

若在矩阵 A 的右侧附加一个矩阵 B，则可以得到一个增广矩阵，记为 $(A | B)$

$A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn} \end{bmatrix}$ , $B=\begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & ... & b_{1r} \\ b_{21} & b_{22} & ... & b_{2r} \\ \vdots \\ b_{m1} & b_{m2} & ... & b_{mr} \end{bmatrix}$

则

$(A|B) = \begin{bmatrix} a_{11} & ... & a_{1n} & b_{11} & ... & b_{1r} \\ \vdots \\ a_{m1} & ... & a_{mn} & b_{m1} & ... & b_{mr} \end{bmatrix}$

# 11、矩阵的初等行运算

与方程组的等价运算本质一样。
一般以第一行为基准，化简为严格三角形。

# 11.1、主行和主元

• 主行：第一行称为主行
• 主元：主行的第一个非零元素